Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son valores que representan o resumen un conjunto de datos, indicando el punto central o típico en una distribución. Las tres medidas de tendencia central más comunes son la media, la mediana y la moda.

Media

La media aritmética (${\bar {x}}$) es el promedio de un conjunto de valores. Se calcula sumando todos los valores y dividiendo el resultado por la cantidad de valores.

Para un conjunto de datos $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, la fórmula de la media es:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}{n}}$

donde:

• ${\bar {x}}$ es la media aritmética.
• $x_{i}$ representa cada valor del conjunto de datos.
• $n$ es el número total de valores.

Ejemplo:

Los estudiantes de la institución educativa Fe y Alegría 31, están estudiando las propiedades de los sólidos de revolución a través de la medición de tamaños de los baldes usados en su proyecto de segregación de residuos. Una de las mediciones que hacen es del diámetro, sin embargo, debido a errores en el proceso de medición, se obtuvo los siguientes valores en tus diez mediciones:

$29.8\,{\text{cm}},30.1\,{\text{cm}},29.9\,{\text{cm}},30.0\,{\text{cm}},30.2\,{\text{cm}},29.7\,{\text{cm}},30.3\,{\text{cm}},29.6\,{\text{cm}},30.1\,{\text{cm}},30.0\,{\text{cm}}$

Para reducir los errores de medición, podemos usar la media:

${\bar {x}}={\frac {1}{10}}\sum _{i=1}^{10}x_{i}={\frac {29.8+30.1+29.9+30.0+30.2+29.7+30.3+29.6+30.1+30.0}{10}}$

${\bar {x}}={\frac {299.7{\text{cm}}}{10}}=30.0{\text{cm}}$

Entonces, la media de las 10 mediciones del diámetro del balde de basura es $30.0{\text{ cm}}$.

Mediana

La mediana ($Me$) es el valor que se ubica en el centro de un conjunto de datos ordenados. Si el número de valores es impar, la mediana es el valor central. Si es par, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.

• Para un conjunto de datos impar:

$Me=x_{\left({\frac {n+1}{2}}\right)}$

• Para un conjunto de datos par:

$Me={\frac {x_{\left({\frac {n}{2}}\right)}+x_{\left({\frac {n}{2}}+1\right)}}{2}}$

donde:

• $x_{(i)}$ representa el $i$-ésimo valor del conjunto de datos ordenado.
• $n$ representa el número total de datos

Ejemplo:

Durante la medición de los lados de un terreno cuadrado que será destinado a un biohuerto escolar, los estudiantes se dividieron en dos grupos, teniendo uno siete integrantes y el otro ocho. Obteniendo las siguientes medidas:

$G_{1}:29.8{\text{m}},30.1{\text{m}},29.9{\text{m}},30.0{\text{m}},30.2{\text{m}},29.7{\text{m}},30.3{\text{m}}$

$G_{2}:29.8{\text{m}},30.1{\text{m}},29.9{\text{m}},30.0{\text{m}},30.2{\text{m}},29.7{\text{m}},30.3{\text{m}},29.6{\text{m}}$

Otro valor, a parte de la media, que nos sirve para representar un conjunto de datos es la mediana, veamos para cada uno de los grupos:

• Para el Grupo 1. Debido a que el número de datos es impar (7 datos), ordenaremos los datos y seleccionaremos el valor central, es decir, el de la posición 4:

$G_{1}:29.7m,29.8m,29.9m,{\underset {Me}{\textbf {30.0m}}},30.1m,30.2m,30.3m$

• Para el Grupo 2. Debido a que el número de datos es par (8 datos), ordenaremos los datos y seleccionaremos los dos valores centrales, es decir, los de la posición 4 y 5, a los cuales les sacaremos el promedio, siendo este resultado la mediana:

$G_{2}:29.6{\text{m}},29.7{\text{m}},29.8{\text{m}},{\underset {Me}{{\textbf {29.9}}{\textbf {m}},{\textbf {30.0}}{\textbf {m}}}},30.1{\text{m}},30.2{\text{m}},30.3{\text{m}}$

Promediamos los valores centrales y obtenemos: $Me={\frac {29.9{\text{m}}+30.0{\text{m}}}{2}}=30.0{\text{m}}$

Moda

La moda ($Mo$) es el valor o los valores que ocurren con mayor frecuencia en un conjunto de datos. Un conjunto de datos puede tener una moda (unimodal), dos modas (bimodal), o más modas (multimodal). Si todos los valores ocurren con la misma frecuencia, no hay moda.

Ejemplo:

Durante el proyecto estudiantil de investigación del clima se ha registrado durante 18 días la temperatura a la misma hora, 12:00 m, obteniendo los siguientes resultados:

$27^{\circ }{\text{C}},26^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},29^{\circ }{\text{C}},28^{\circ }{\text{C}},31^{\circ }{\text{C}},27^{\circ }{\text{C}},25^{\circ }{\text{C}},29^{\circ }{\text{C}},29^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},31^{\circ }{\text{C}},25^{\circ }{\text{C}},28^{\circ }{\text{C}},26^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},27^{\circ }{\text{C}}$

Si optamos por el valor modal, es decir, el dato más frecuente, ¿qué valor mejor representa la muestra?

• Para encontrar la moda, es recomendable primero ordenar los datos para una mejor visualización:

$25^{\circ }{\text{C}},25^{\circ }{\text{C}},26^{\circ }{\text{C}},26^{\circ }{\text{C}},27^{\circ }{\text{C}},27^{\circ }{\text{C}},27^{\circ }{\text{C}},28^{\circ }{\text{C}},28^{\circ }{\text{C}},29^{\circ }{\text{C}},29^{\circ }{\text{C}},29^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},30^{\circ }{\text{C}},31^{\circ }{\text{C}},31^{\circ }{\text{C}}$

• Luego, seleccionamos el valor o valores que más se repiten, obteniendo de esta forma la moda:

$Mo=30.0^{\circ }{}{\text{C}};{\text{ Este valor se repite 4 veces}}$

Comparación y Usos

• Media: Es sensible a los valores extremos (outliers), por lo que en distribuciones con outliers puede no representar adecuadamente el centro de la distribución.
• Mediana: No se ve afectada por valores extremos y es una mejor medida de tendencia central para distribuciones sesgadas.
• Moda: Es útil para datos categóricos donde queremos saber cuál es la categoría más común. También puede ser útil en datos numéricos para identificar la concentración de valores.

Conclusión

Las medidas de tendencia central son herramientas fundamentales en estadística descriptiva, ya que proporcionan un resumen numérico que describe el punto central de un conjunto de datos. Cada medida tiene sus propias ventajas y desventajas, y la elección de cuál utilizar depende de la naturaleza y la distribución de los datos analizados.